这道题的目的是通过二进制浮点数表示法计算 x + y 的结果,主要分为以下几个步骤:
已知条件:
• x = 0.5_{10} = 0.1_2 \times 2^0 = 1.000_2 \times 2^{-1}
• y = -0.4375_{10} = -0.0111_2 = -1.110_2 \times 2^{-2}
• 尾数有效位数为 4。
步骤 1:对阶
为了进行二进制浮点数加法,需要对阶操作,也就是将两个数的指数部分调整一致,以便对尾数进行加法。
• x = 1.000_2 \times 2^{-1}
• y = -1.110_2 \times 2^{-2}
因为 y 的指数较小(-2),所以将 y 调整到与 x 的指数对齐(-1):
y = -1.110_2 \times 2^{-2} = -0.1110_2 \times 2^{-1}
步骤 2:尾数相加
现在可以对尾数相加(以 -1 为统一指数):
x + y = (1.000_2 \times 2^{-1}) + (-0.1110_2 \times 2^{-1})
尾数部分计算:
1.000_2 + (-0.1110_2) = 0.0010_2
因此,结果为:
x + y = 0.0010_2 \times 2^{-1}
步骤 3:规格化
规格化是指将尾数调整到符合浮点数标准格式的过程。即尾数以 1 为首位,调整指数以维持数值不变。
将 0.0010_2 \times 2^{-1}
规格化为:
x + y = 1.000_2 \times 2^{-4}
步骤 4:检查上溢或下溢
检查是否存在上溢或下溢:
• 指数范围:假设指数用移码表示(8 位,偏移量 127),即合法范围是 [-126, 127]。
• 当前指数为 -4,符合范围,无上溢或下溢。
步骤 5:舍入操作
题目要求尾数有效位数为 4,因此结果尾数 1.000_2
保持不变,无需舍入。
最终结果:
二进制表示:
x + y = 1.000_2 \times 2^{-4}
转换为十进制:
1.000_2 \times 2^{-4} = 0.0001_2 = 0.0625_{10}
十进制验证:
x = 0.5_{10}, \quad y = -0.4375_{10}
x + y = 0.5 - 0.4375 = 0.0625
验证无误!
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