浮点数二进制加法与规格化计算

这道题的目的是通过二进制浮点数表示法计算 x + y 的结果，主要分为以下几个步骤：

已知条件：

• x = 0.5_{10} = 0.1_2 \times 2^0 = 1.000_2 \times 2^{-1}
• y = -0.4375_{10} = -0.0111_2 = -1.110_2 \times 2^{-2}
• 尾数有效位数为 4。

步骤 1：对阶

为了进行二进制浮点数加法，需要对阶操作，也就是将两个数的指数部分调整一致，以便对尾数进行加法。

• x = 1.000_2 \times 2^{-1}
• y = -1.110_2 \times 2^{-2}

因为 y 的指数较小（-2），所以将 y 调整到与 x 的指数对齐（-1）：

y = -1.110_2 \times 2^{-2} = -0.1110_2 \times 2^{-1}

步骤 2：尾数相加

现在可以对尾数相加（以 -1 为统一指数）：

x + y = (1.000_2 \times 2^{-1}) + (-0.1110_2 \times 2^{-1})

尾数部分计算：

1.000_2 + (-0.1110_2) = 0.0010_2

因此，结果为：

x + y = 0.0010_2 \times 2^{-1}

步骤 3：规格化

规格化是指将尾数调整到符合浮点数标准格式的过程。即尾数以 1 为首位，调整指数以维持数值不变。

将 0.0010_2 \times 2^{-1} 规格化为：

x + y = 1.000_2 \times 2^{-4}

步骤 4：检查上溢或下溢

检查是否存在上溢或下溢：

• 指数范围：假设指数用移码表示（8 位，偏移量 127），即合法范围是 [-126, 127]。
• 当前指数为 -4，符合范围，无上溢或下溢。

步骤 5：舍入操作

题目要求尾数有效位数为 4，因此结果尾数 1.000_2 保持不变，无需舍入。

最终结果：

二进制表示：

x + y = 1.000_2 \times 2^{-4}

转换为十进制：

1.000_2 \times 2^{-4} = 0.0001_2 = 0.0625_{10}

十进制验证：

x = 0.5_{10}, \quad y = -0.4375_{10}

x + y = 0.5 - 0.4375 = 0.0625

验证无误！